Résumé:
Les codes de Reed-Solomon consistent en l’évaluation de polynômes univariés de degré borné en les éléments d’un corps fini. Leur structure algébrique leur confère de nombreuses propriétés : ils ont des paramètres optimaux et disposent d’algorithmes de décodages efficaces. Dans les années 80, Goppa propose une généralisation des codes de Reed-Solomon, les codes géométriques. Pour définir un code géométrique, on se donne une courbe algébrique, un ensemble de points sur cette courbe et on évalue certaines fonctions en ces points. La géométrie algébrique a permis d’exhiber des constructions de familles de codes asymptotiques à excellents paramètres.
Une autre façon naturelle de généraliser les codes de Reed-Solomon est d’évaluer des polynômes multivariés de degré total borné : ce sont les codes de Reed-Muller. Les codes de Reed-Muller plans, pour lesquels on évalue des polynômes bivariés, ont des paramètres moins bons que les codes de Reed-Solomon et leur décodage est beaucoup moins évident. Quels avantages a-t-on d’évaluer en les points d’une surface (un plan ici) au lieu d’une courbe ? On a évidemment des codes plus longs à corps de base fixé. Mais surtout, on gagne des propriétés locales, héritées des droites et des courbes dessinées sur le plan. Ces propriétés trouvent de nombreuses applications dans la théorie de l’information actuelle et encouragent l’étude de codes géométriques basés sur les variétés de dimension supérieure. Cet exposé introduira d’abord les codes de Reed-Solomon et donnera un aperçu de leurs analogues géométriques. Ensuite, on détaillera les propriétés locales des codes de Reed-Muller (plans) et leurs applications pratiques. Enfin, en guise d’ouverture, on motivera l’étude des codes géométriques sur les surfaces par le prisme de la localité, en présentant les avantages et les challenges du point de vue géométrique.
